2006年普通高等学校招生全国统一考试（二）
文科数学试卷
参考答案
一、选择题
（1）B （2）D （3）D （4）D （5）C （6）B
（7）B （8）B （9）A （10）C （11）D （12）A
二、填空题
（13）45 （14） （15） （16）25
三、解答题
（17）解:
（Ⅰ）
由=得=
=（180°－45°－C）
=（）
=. ……3分
由正弦定理知
BC =
=3
=. ……6分
（Ⅱ）
AB =
=
=2.
BD =AB=1 ……9分
由余弦定理知
CD =
=
=.
（18）解：
设{an}的公比为q，S4=1，S8=17知q≠1，所以得
=1，①
=17.② ……2分
由①②式得
整理得+1=17
解得 =16
所以 q = 2或 q =－ 2 ……8分
将q = 2代入①式得a1=，
所以 a=； ……10分
将q =－2代入①式得a1=－
所以an= ……12分
（19）
设Ai表示事件“第二箱中取出i件二等品”，i=0，1；
Bi表示事件“第三箱中取出i件二等品”，i=0，1，2.
（I）依题意所求的概率为
=
=
= ……6分
（Ⅱ）解法一：所求的概率为
=1－－
=. ……12分
解法二：所求的概率为
=
=
=. ……12分
（20）解法一:
（I）设O为AC中点,连接EO,BO,则EO,又.所以EOBD
为平行四边形,ED//OB, EODB. ……2分
∵AB=BC，∴BO⊥AC，
又平面ABC⊥平面ACC1A1，BO面ABD，故BO⊥平面
ACC1A1，
∴ED⊥平面ACC1A1，ED⊥AC1，ED⊥CC1，
∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线. ……6分
（II）连结 A1E. 由 AA1=AC= 可知，A1ACC1 为正方形，
∴A1E⊥AC1. 又由 ED⊥平面 A1ACC1 和 ED平面 ADC1 知平面 ADC1⊥平
面 A1ACC1，
∴A1E⊥平面 ADC1. 作 EF⊥AD，垂足为 F，连结 A1F，则 A1F⊥AD，
∠A1FE 为二面角 A1—AD—C1 的平面角.
不妨设 AA1=2，
则 AC=2，AB= . ED=OB=1，EF= =，tan∠A1FE ==
∴∠A1FE=60°.
所以二面角 A1—AD—C1 为 60°.
……12 分
解法二:
（I）如图，建立直角坐标系 O—xyz，其中原点 O 为 AC 的中点.
设A(a,0,0),B(0,b,0),B1(0,b,2c)
则C(－a,0,0), C1(－a,0,2c),E(0,0,c),D(0,b,c),
……3 分
，=（0,0,2c）.
·=0，∴ED⊥BB1
又 =(－2a,0,2c)，
·=0，∴ED⊥AC1
所以 ED 是异面直线 BB1 与 AC1 的公垂线. ……6 分
（II）不妨设 A（1，0，0），
则 B（0，1，0），C（－1，0，0），A1（1，0，2），
=（－1，－1，0），=（－1，1，0），=（0，0，2），
·=0，·=0，即BC⊥AB，BC⊥AA1，又AB∩AA1=A，
∴ BC⊥A1AD.
又 E（0，0，1），D（0，1，1），C（－1，0，0），
=（－1，0，－1），=（－1，0，1）=（0，1，0）
·=0，·=0，即EC⊥AE，EC⊥ED，又AE∩ED=E，
∴ EC⊥C1AD. ……10分
<,＞==，即得和的夹角为60°.
所以二面角 A1—AD—C1 为 60°. ……12 分
（21）解：
由f(x)为二次函数知a≠0.
令f(x)=0解得其两根为
由此可知＜0,＞0.
(ⅰ)当a＞0时，A=
A∩B≠的充要条件是＜3，即
＜3，
解得a＞. ……6分
(ⅱ) 当a＜0时，A=
A∩B≠的充要条件是＞1，即
＞1，
解得a＜—2. ……10分
综上，使A∩B≠成立的a的取值范围为（—∞，—2）∪（，+0），
……12分
（22）解：
（I）由已知条件，得F（0，1），＞0.
设A（x1,y1）,B(x2,y2).由=λ，
即得（－x1, 1－y1）=λ(x2,y2－1)，
将①式两边平方并把代入得
y1=y2 ③
解②、③式得y1=, y2=,且有
x1 x2==－4y2=－4.
抛物线方程为
求导得
所以过抛物线上 A、B 两点的切线方程分别是
即 ，.
解出两条切线的交点 M 的坐标为
（）=（－1）.……4分
所以 ·=（－2）·（x2－x1,y2－y1）
=()－2(－)
=0
所以 ·为定值，真值为0. ……7 分
（II）由（I）知在△ABM 中，FM⊥AB，因而.
=
=
=
=
=.
因为|AF|、|BF|分别等于 A、B 到抛物线准线 y=－1 的距离，所以
|AB|=|AF|+|BF|
=y1+y2+2
=+2
=（）.
于是
=（） ……11 分
由 ≥2，知S≥4.
且当=1时，S取得最小值4. ……14 分
