2007年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷I）
数学（文科）试卷
参考答案
一、选择题
1．D 2．B 3．A 4．A 5．C 6．C
7．D 8．D 9．B 10．D 11．A 12．C
二、填空题
13．0.25
14．
15．
16．
三、解答题
17．解：
（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，
由△ABC为锐角三角形得。
（Ⅱ）根据余弦定理，得b2=a2+c2－2ac cosB=27+25－45=7
所以，。
18．解：
（Ⅰ）记A表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，则表示事件：“3位顾客中无人采用一次性付款”。
=（1－0.6）2=0.064，
P（A）=1－=1－0.064=0.936。
（Ⅱ）记B表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”。
B0表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”。
B1表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”。
则B= B0+ B1。
P（B0）=0.63=0.216，。
P（B）=P（B0+ B1）
=P（B0）+P（B1）
=0.216+0.432
=0.648
19．解法一：
（1）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD。
因为SA=SB，所以AO=BO，
又∠ABC=45°，故为等腰直角三角形，AO⊥BO，
由三垂线定理，得SA⊥BC。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，
依题设，
故SA⊥AD，
由AD=BC=2，
，
。
又AO=ABsin45°=，作DE⊥BC，垂足为E，
则DE⊥平面SBC，连结SE。∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角。
所以，直线SD与平面SBC所成的角为。
解法二：
（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD。
因为SA=SB，所以AO=BO。
又∠ABC=45°，为等腰直角三角形，AO⊥OB。
如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O—xyz，
因为，
，
又，所以，
，。
，，
，，所以。
（Ⅱ），.
与的夹角记为，SD与平面ABC所成的角记为，
因为为平面SBC的法向量，所以与互余。
，
，
所以，直线SD与平面SBC所成的角为。
20．解：
（Ⅰ），
因为函数f（x）在x=1及x=2取得极值，则有，。
即
解得a=－3，b=4。
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，
。
当x∈（0，1）时，；
当x∈（1，2）时，；
当x∈（2，3）时，。
所以，当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=5+8c，又f（0）=8c，f（3）=9+8c。
则当x∈[0，3]时，f（x）的最大值为f（3）=9+8c。
因为对于任意的x∈[0，3]，有f（x）<c2恒成立，
所以 ，
解得 c<－1或c>9，
因此c的取值范围为。
21．解：
（Ⅰ）设{an}的公差为d，{ bn }的公比为q，则依题意有q>0且
解得d=2，q=2。
所以，
。
（Ⅱ）。
，①
，②
②－①得，
。
22．证明
（Ⅰ）椭圆的半焦距，
由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，
故，
所以，。
（Ⅱ）（ⅰ）当BC的斜率k存在且时，BC的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得。
设B（x1，y1），D（x2，y2）则
，，
；
因为AC与BC相交于点p，且AC的斜率为。
所以，。
四边形ABCD的面积
。
当k2=1时，上式取等号。
（ⅱ）当BC的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4。
综上，四边形ABCD的面积的最小值为
