试题答案
一、选择题（本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分）
1. C 2. C 3. B 4. D 5. A 6. D
7. C 8. B 9. C 10. B 11. B 12. D
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分。
13. 155 14. 70 15. 100 16. ①③④
三、解答题。
17. 本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力，满分12分。
解：（Ⅰ）的图像的对称轴
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
由题意得：
所以函数
（Ⅲ）由
故函数上的图像是
18. 本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力。考查应用向量知识解决数学问题的能力。满分12分。
方案一：
（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，
∴由三垂线定理得：CD⊥PD
因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，
∴CD⊥面PAD.
又CD面PCD，∴面PAD⊥面PCD.
（Ⅱ）解：过点B作BE//CA，且BE=CA，
则∠PBE是AC与PB所成的角.
连结AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，
所以四边形ACBE为正方形. 由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°
在Rt△PEB中BE=，PB=，
（Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足为N，连结BN.
在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，
∴△AMC≌△BMC,
∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角.
∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，
在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM.
在等腰三角形AMC中，AN·MC=
∵AB＝2，
故所求的二面角为
方法二：因为PA⊥AD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点，AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为：
A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0）
D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，
（Ⅰ）证明：因
又由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线
由此得DC⊥面PAD
又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD.
（Ⅱ）解：因
由此得AC与PB所成的角为
（Ⅲ）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在使
要使
所以∠ANB为所求二面角的平面角。
19. 本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力。满分12分。
解：（Ⅰ）
①
由方程 ②
因为方程②有两个相等的根，所以，
即
由于代入①得的解析式
（Ⅱ）由
及
由解得
故当的最大值为正数时，实数a的取值范围是
20. 本小题主要考查相互独立事件和互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力. 满分12分.
（Ⅰ）解：因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为，所以甲坑不需要补种的概率为
（Ⅱ）解：3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为
（Ⅲ）解法一：因为3个坑都不需要补种的概率为，
所以有坑需要补种的概率为
解法二：3个坑中恰有1个坑需要补种的概率为
恰有2个坑需要补种的概率为
3个坑都需要补种的概率为
所以有坑需要补种的概率为
21. 本小题主要考查等比数列的基本知识，考查分析问题能力和推理能力，满分12分.
解：（Ⅰ）由得：
即
可得
因为，所以 解得，因而
（Ⅱ）因为是首项、公比的等比数列，故
则数列的前n项和
前两式相减，得：
即
22. 本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力。满分14分。
（1）解：设椭圆方程为
则直线AB的方程为，代入，化简得：
令A（），B），则
由与共线，得
又，
即，所以，
故离心率
（II）证明：（1）知，所以椭圆可化为
设，由已知得
在椭圆上
即①
由（1）知：
又，代入①得
故为定值，定值为1.
